• Uni v3 LP的头寸可以分解为看跌收益和范围组件。

• Uni v3头寸的值是以下两项的和：1)空头头寸的总和，其值由Black-Scholes模型给；2) 范围项，其闭合表达式由Feynman-Kac公式给出。

• 这可以通过将Uni v3 LP头寸转换为“固定DTE”看跌期权来进一步简化，该看跌期权在到期时的价值收敛于T_r > 0时刻的看跌期权。

• 比较Uni v3头寸的预期收益和期权溢价可以帮助确定持有Uni v3头寸或将其“出借”给期权买家是否更有利。

为了建立Uniswap v3 LP头寸，必须在用户指定的范围内锁定资产（例如 ETH），在用户指定的范围(由低刻度tL和高刻度tH定义)之间。该Uniswap v3 LP仓位的取值为：

其中，S是资产的现金价格，K是执行价格√(tL*tH)， r是范围因子√(tH/tL)。范围因素决定了持有资产和numéraire之间的过渡有多“尖锐”。

那么多头期权呢？如果一个人能够借入一个Uni v3 LP头寸，并在以后偿还，这相当于购买了一个看跌期权。用户在借入LP头寸时将支付固定的溢价。

溢价应该是多少？我们能否使用Black-Scholes模型这样的既定框架来直接为Uni v3头寸定价?

答案是肯定的。

在这篇文章中，我们将展示如何将V(S)分解为一个短线看跌组件(对应于一个单刻度头寸)和一个范围组件(仅存在于上/下刻度之间)来实现这一点。

Feynman-Kac的期权定价

在推导Uni v3期权的价格之前，有必要回顾一下常规期权的定价方式。利用Black-Scholes模型，有许多方法可以得出常规看涨期权的价格。我最喜欢的方法是使用Feynman-Kac公式，该公式表示期权u(S,t)的值为:

其中V(x, T)是到期时的收益函数，平均 ? ? ? 是几何布朗运动的概率度量。

理解Feynman-Kac公式的含义很简单：期权在T时刻的价值是通过计算从现在到未来T时刻所有可能价格变动的收益函数的平均值来确定的。

物理学家Richard Feynman最初在量子力学的路径积分形式中提出了一个类似的方程，在这个方程中，一个粒子的“预期”头寸是由该粒子可能采取的所有路径的加权和决定的。Mark Kac意识到他们正在研究一个类似的问题，当时他们都在康奈尔大学，他听了Feynman的演讲，那次合作产生了Feynman-Kac公式。

因此，直接计算 Feynman-Kac 公式，得到:

对于看涨期权，收益V(S,T) = max(SK,0)，对于看跌期权，收益V(S,T) = max(KS, 0)，因此，时间 t 的看涨看跌期权的价值为:

要证明这与Black-Scholes定价相一致。

定价Uniswap v3期权

Feynman-Kac公式使计算奇异期权的价值变得容易。我们将应用Feynman-Kac公式来计算Uniswap v3期权的值。

为了让事情变得简单一点，我们首先将Uni v3 LP的价值分解为两个不同的部分 V(S, t) = V_p(S, t) + Vρ(S, t)，其中 V_p=-max( KS, 0) 是看跌期权的收益，范围收益Vρ是由以下式给出的：

我们可以图形化地看到看跌期权和范围收益如何与Uni v3头寸的价值相关:范围收益在执行价格时是最大的，在上/下刻度处为零(为了简单，我画出了范围收益的负值)。

使用这个分解，我们可以使用Feynman-Kac公式明确求解在时间 t的Uni v3期权的值。这样做，我们得到：

其中，Put(S, t) 是 Black-Scholes 给出的执行 K 处的时看跌期权的熟悉价格。

“范围期权”ρ(S,t)分量是严格正项，对应于LP头寸的范围部分的值。通过求解Feynman-Kac公式，得到了ρ(S,t)的一个相当复杂的表达式:

虽然我们现在对ρ(S,t)的细节不感兴趣，但我们可以从图形看到，ρ(S,t)是这样的:

我们能让这个表达式更简单吗?

Uni v3头寸值的表达式相当复杂。幸运的是，我们可以大大简化分析。